Việc sử dụng tích vô hướng của 2 vecto giúp xác định nhanh góc giữa hai vecto mà không cần đo trực tiếp góc đó, điều này rất hữu ích trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Cách nhận biết góc dựa vào tích vô hướng là tính giá trị tương đối của tích, cụ thể: \(\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|}\), từ đó suy ra góc \(\theta\) nằm trong khoảng từ 0 đến \(\pi\). Với kết quả này, người ta xác định được mức độ song song, vuông góc hoặc góc tù giữa hai vecto. Đặc biệt, nếu tích vô hướng của 2 vecto bằng 0 thì góc giữa chúng là 90 độ, tức hai vecto vuông góc với nhau. Nếu tích vô hướng dương, góc giữa hai vecto nhỏ hơn 90 độ; nếu tích âm, góc lớn hơn 90 độ. Nhờ vậy, việc phân biệt góc ảnh hưởng nhiều đến khả năng giải các bài toán hình học không gian, như xác định phương pháp thiết kế phần mềm mô phỏng chuyển động, hay tính toán góc linh hoạt giữa các chi tiết máy. Trong kỹ thuật xây dựng, kiến trúc, hay robot, việc này cực kỳ cần thiết để đảm bảo các linh kiện hoặc mô hình robot vận hành tương tác đúng hướng lực, góc quay hoặc vị trí. Bản chất và mối liên hệ chặt chẽ giữa tích vô hướng của 2 vecto và đo góc cũng giúp người vận hành điều chỉnh hiệu quả thiết bị mô phỏng và tính toán chính xác hơn. Trình bày khái niệm tích vô hướng của hai vectơ , công thức tính, các dạng bài tập minh họa và ứng dụng quan trọng trong giải toán hình học lớp 10. Tích vô hướng của 2 vecto không chỉ là khái niệm trừu tượng trong toán học mà còn đóng vai trò cực kỳ quan trọng trong lĩnh vực vật lý và các ngành kỹ thuật. Trong vật lý, tích vô hướng được dùng để tính công khi một lực tác dụng lên vật thể di chuyển trong một khoảng cách theo hướng lực. Công thức tính công là \(W = \vec{F} \cdot \vec{d}\), công bằng tích vô hướng của lực \(\vec{F}\) và vectơ dịch chuyển \(\vec{d}\). Việc này giúp xác định chính xác lượng năng lượng được truyền vào hoặc nhận từ hệ thống. Ngoài ra, trong kỹ thuật cơ khí và điện tử, việc sử dụng tích vô hướng của 2 vecto ứng dụng vào phân tích lực, dòng điện hoặc các hiện tượng vật lý phức tạp khác cũng rất phổ biến. Ví dụ, trong mạch điện xoay chiều, đại lượng công suất thực được tính thông qua tích vô hướng giữa điện áp và dòng điện. Điều này làm nổi bật tính ứng dụng rộng rãi của tích vô hướng trong thực tế công việc và nghiên cứu. Nhờ đó, tích vô hướng không chỉ là công cụ toán học mà còn thể hiện sự kết nối kiến thức trong các lĩnh vực kỹ thuật phức tạp, giúp sinh viên cũng như kỹ sư làm việc chuyên nghiệp và hiệu quả hơn. Việc hiểu rõ và ứng dụng chính xác tích vô hướng trong các tình huống thực tiễn giúp nâng cao tính thực hành và sự tin cậy trong các thiết kế kỹ thuật. Các công thức định nghĩa tích vô hướng , tích có hướng của hai vectơ trong không gian, ứng dụng tính diện tích thể tích
